Lịch sử các nhà toán học

Gottfried Wilhelm Leibniz (1616 – 1716)
Thursday, 05 August 2004
Gôtphơrit Vinhem Lepnich (Gottfried Wilhelm Leibniz) – nhà bác học, triết học lỗi lạc của nước Đức. Lepnich là con một giáo sư ở trường đại học Leipzig. Từ nhỏ, Lepnich đã được cha quan tâm bồi dưỡng những năng khiếu tự nhiên. Mẹ là một phụ nữ thông minh, biết nhiều ngoại ngữ, có ảnh hưởng sâu sắc tới tài năng và đức tính của nhà bác học sau này. Năm 14 tuổi, Lepnich được nhận vào học tại trường đại học Laixich. Lepnich tỏ ra thông minh đặc biệt và có nhiều công trình nghiên cứu về toán. Năm 20 tuổi, Lepnich đã cho xuất bản cuốn Lược khảo về sự phân tích tổ hợp. Những phát minh của ông cùng thời với nhiều nhà bác học lớn trên thế giới như phép tính vi phân tương đương với Niutơn, lý thuyết bảo tồn năng lượng đồng thời với Đêcactơ. Lepnich là một nhà bác học về nhiều ngành khoa học tự nhiên như toán học, sử học, nhà nghiên cứu pháp lý mới, nhà cải cách ngôn ngữ và triết gia.
Ông đã đi du lịch qua nhiều nước như Pháp, Anh, Italia và có quan hệ mật thiết với nhiều nhà bác học và triết gia nổi tiếng đương thời. Ông là người sáng lập và là Giám đốc Viện khoa học ở Beclin (Đức), là người đóng góp nhiều công sức cho việc thành lập Viện khoa học ở Pêtecxbua (Nga).
Về mặt triết học, ông là một triết gia duy tâm khách quan, có nhiều yếu tố biện chứng. Tư tưởng của Lepnich tiêu biểu cho tư tưởng của giai cấp tư sản Đức ở đầu thế kỷ XVIII, phản ánh mâu thuẫn giữa yêu cầu phát triển của giai cấp tư sản và địa vị còn non yếu của nó, nên mang tính chất duy tâm và thỏa hiệp. Lepnich là người mở đường cho phái triết học duy tâm cổ điển và phái triết học duy tâm biện chứng ở Đức.
David Hilbert (23.01.1862-14.2.1943)
7 câu hỏi và 1 triệ̣u đôla
Friday, 10 December 2004
Một triệu đô la dành cho ai giải được bất kỳ bí ẩn nào trong số bảy bí ẩn toán học. đó chính là phần thưởng do một tổ chức tư nhân nêu ra nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó. Và dĩ nhiên, cũng để trả lời những câu hỏi lớn vẫn làm đau đầu các nhà toán học bấy lâu nay.
Paris, trường Đại học Pháp, 8.9.1900. David Hilbert đến dự Hội nghị quốc tế Toán học với một danh sách gồm 23 vấn đề mà đến lúc đó toán học vẫn chưa giải quyết được. Trong lịch sử toán học, ông là người cuối cùng còn nắm được tổng thể nền toán học của thời đại mình, trước khi nó bung ra thành hàng trăm phân nhánh. Ông mơ ước sẽ xây dựng được một “cây toán học” vững chắc, thống nhất và vĩnh cửu. với 23 câu hỏi đó, ông mong muốn phác ra một đinh hướng cho nền toán học tương lai và đặt ra một bức tường thách thức cần vượt qua trước ngưỡng cửa thế kỷ XX. 100 năm sau, trong 23 vấn đề đó chỉ còn 3 vấn đề chưa được giải quyết (1). Tuy nhiên, giấc mơ của Hilbert vẫn chưa phải đã thực hiện được …
Những chân lý không thể chứng minh
Từ năm 1931, nhà lôgic học người Áo Kurt Godel đã chứng minh rằng, do một mâu thuẫn cơ bản, cây mơ ước của Hilbert là không thể xây dựng được: không thể chứng minh một chân lý toán học là vĩnh cửu. ông cho rằng luôn luôn tồn tại những chân lý không thể chứng minh. Lý thuyết này làm sụp đổ cây toán học với những ảo tưởng của vĩnh cửu và tuyệt đối.
Giấc mơ thống nhất còn vấp phải một khó khăn lớn do sự phân nhánh của toán học. Vào năm 1900 (tức là năm Hilbert đưa ra 23 bài toán – ngocson52), trên thế giới chỉ có khoảng 300 nhà toán học chuyên nghiệp – trong số đó ¾ đã có mặt trong hội nghị để nghe bài phát biểu của Hilbert. Nhưng hiện nay, con số các nhà toán học chuyên nghiệp trên thế giới là 50.000. Mỗi năm, họ chứng minh chừng 200.000 định lý thuộc hơn 3.000 phân ngành nhỏ. Không còn ai có thể hiểu biết về toán học một cách tổng thể. Không còn ai có thể nhìn cây toán học trên phương diện toàn cầu của nó để mơ đến chuyện hợp nhất …
Vào năm 1999, Claude Allègre, khi đó là Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Nghiên cứu Pháp đã thốt lên rằng: “Toán học đang suy thoái, không lối thoát. Không còn toán học nữa, chỉ còn những cái máy thực hiện các phép tính”. Và vào năm cuối cùng của thế kỷ XX, nền toán học đang tỏ ra hết sức “suy nhược”. Cho dù UNESCO đã công bố năm 2000 là Năm Thế giới về Toán học.
Nhà toán học Mỹ Arthur Jaffe, giáo sư của trường Đại học Harvard, lo lắng nói: “Toán học hiện nay đã mất cả sự hấp dẫn lẫn tính mới lạ”. Và ông chia sẻ nỗi lo của mình với Landon Clay, một nhà công nghiệp giàu có người Mỹ, người vốn có niềm đam mê lớn đối với nhành khoa học mà ông coi là “biểu hiện thuần túy của trí tuệ loài người”.
100 năm bài phát biểu của Hilbert
Vì vậy, vào năm 1999, với sự ủng hộ của Viện Toán học Clay, ông Arthur Jaffe đã công bố thành lập một quỹ tư nhân có mục đích thúc đẩy sự phát triển của toán học trước thềm thiên niên kỷ mới.
Họ quyết định tổ chức lễ kỷ niệm 100 năm bài phát biểu của Hilbert để khôi phục lại vòng hào quang xưa của của toán học: – “nữ hoàng của khoa học”. Tại trường Đại học Pháp, ngoài ba vấn đề của Hilbert giải quyết chưa nổi, họ lại công bố một danh sách mới những vấn đề khác chưa được giải quyết. Đó là bảy bí ẩn chúng ta sẽ phải khám phá trong thiên niên kỷ mới. bất cứ ai giải được một trong bảy vấn đề ấy đều sẽ nhận giải thưởng một triệu đôla!
“Dù vậy, mục đích của phần thưởng đã rất khác so với ý tưởng của Hilbert cách đây 100 năm” – Alain Connes (ảnh), thành viên hội đồng khoa học của Quỹ Clay, cho biết. “Hilbert đã chọn những vấn đề rất mới và ít người nghiên cứu vào thời đó, vì ông muốn phác ra một định hướng cho nền toán học tương lai. Còn chúng tôi lại chọn những vấn đề mà tất cả các nhà toán học đều coi là cơ bản”. Những vấn đề này thâu tóm mọi nhánh chính của ngành khoa học này: đó là lôgic với P chống lại NP, là hình học topo với giả thuyết Poincaré; số học với giả thuyết Riemann; hình học với giả thuyết Hodge; đại số với giả thuyết của Birch cùng Swinnnerton-Dyer; và tích phân với các phương trình của Navier-Stokes và của Yang-Mills.
Ngày nay, không thể không biết đến những điều đó bởi các vấn đề toán học sẽ có những ứng dụng cụ thể trong tương lai. “Chúng tôi mong sự án này sẽ trở thành một sự kiện của truyền thông đại chúng” – Arthur Jaffe nói – “để công chúng nhận thức được tầm quan trọng của toán học. Nó là nền tảng của mọi khoa học và động lực trong cuộc sống loài người. Tôi không thể hình dung nổi một đất nước phát triển mà thiếu toán học”.
“Không một khám phá nào của tôi, dù ít hay nhiều, có thể giúp ích được gì cho cái thế giới thực dụng này” – nhà toán học người Anh Godfrey Hardy, một lý thuyết gia số học vĩ đại, rất căm ghét toán học ứng dụng, đã tuyên bố như vậy vào những năm 20. Tuy nhiên, trước khi qua đời vào năm 1947, ông vẫn còn kịp thấy lý thuyết số của mình đã được sử dụng rộng rãi để mã hóa và giải mã các bức điện mật trong Chiến tranh Thế giới thứ hai. Trong tin học, vật lý, sinh học, kinh tế học, khí tượng học hay mật mã học, toán học đã chứng tỏ sức mạnh và tầm quan trọng của mình. Cây toán học không phải đã suy yếu như người ta tưởng…
Mọi người đều có cơ hội
Hơn nữa, dù toán học phân thành rất nhiều nhánh nên các các vấn đề đặt ra cũng hết sức đa dạng, song các nhà toán học luôn nghĩ tới một nền tảng thống nhất của ngành khoa học này. “Các nhánh của cây toán học luôn đan xen nhau” – Jean-Pierre Bourguigon, giám đốc Viện Nghiên cứu khoa học cao cấp tại tại Bures-sur-Yvette (Pháp), nhấn mạnh. “Các kết quả của những vấn đề rất khác nhau lại tương đồng nhau một cách kỳ lạ, và tất cả nền toán học, trong sự thống nhất động, đã tạo thành một khối vĩnh cửu”.
Nhiều người có thể nghĩ rằng tiêu hàng triệu đôla cho việc chứng minh mấy định lý toán học thật là một sự lãng phí. Nhưng điều này đã có tiền lệ: vào năm 1908, nhà công nghiệp người Đức Paul Wolfskehl đã hứa tặng 100.000 mark Đức cho người chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat. Andrew Wiles đã nhận được số tiền này vào năm 1997. Trong thiên niên kỷ mới, giải quyết bảy bí ẩn toán học ấy là để đánh tan những suy nghĩ sai lầm của một số người. Không, toán học không chết, cây toán học không hề mất giá trị, sức mạnh và sự thống nhất của nó!
Tất cả mọi người, không hạn chế thời gian, đều có thể nhận được phần thưởng trên sau hai năm kể từ khi công bố chứng minh của mình trên một tờ báo khoa học tên tuổi. Hai năm là thời gian để kiểm chứng bản chứng minh đó không có gì sai sót. Mọi người đều có cơ hội nhận giải, mặc dù dĩ nhiên sẽ hết sức khó khăn cho một người nghiệp dư chen chân vào mảnh đất toán học này. “Việc chứng minh những vấn đề nà khá giống việc chinh phục đỉnh Everes. Rất khó đấy, nhưng khi đã lên đến đỉnh, người ta sẽ thấy một cảnh tượng tuyệt diệu” – Alain Connes kết luận.
7 BÀI TOÁN THIÊN NIÊN KỶ
1. Giả thuyết Poincaré
Lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một.
Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái phao, là một về mặt liên thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu.
Vào năm 1904, nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.
2. Vấn đề P chống lại NP
Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ “thằn lắn” dễ hơn, hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ.
Những các nhà toán học lại không chắc chắn như thế. Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên, vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán học”. Sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc tìm ra số chia của 13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó.
“Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai” – Stephen Cook báo trước. “Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet”. Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề lôgic nhỏ bé và cơ bản này!
3. Giả thuyết Hodge
Euclide sẽ không thể hiểu được gì về hình học hiện đại. Trong thế kỷ XX, các đường thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn. Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Chúng ta đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất hình học dần dần biến mất trong toán học. Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…
4. Các phương trình của Yang-Mills
Các nhà toán học luôn chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.
Được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills, các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thể giới lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ có các nhà vật lý sử dụng chúng …
5. Giả thuyết Riemann
2, 3, 5, 7, …, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học. Dù sự phân chia các số này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số do thiên tài Thụy Sĩ Leonard Euler đưa ra vào thế kỷ XVIII. Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết của nhà toán học người Đức này chính là một trong 23 vấn đề mà Hilbert đã đưa ra cách đây 100 năm. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên, nhưng … vẫn không sao chứng minh được. “Đối với nhiều nhà toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản” – Enrico Bombieri, giáo sư trường Đại học Princeton, cho biết. và theo David Hilbert, đây cũng là một vấn đề quan trọng đặt ra cho nhân loại.
6. Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x^2 + y^2 = z^2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như 3^2 + 4^2 = 5^2. Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. hiển nhiên vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là nếu f(1)= 0), phương trình có vô số nghiệm. nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
Giả thuyết nói như thế, các nhà toán học cũng nghĩ vậy, nhưng đến giờ chưa ai chứng minh được…
7. Các phương trình của Navier-Stokes
Chúng mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ. Chúng được Henri Navier và George Stokes đưa ra cách đây 150 năm. Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí. Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của toán học: người ta vẫn chưa thể giải hay xác định chính xác số nghiệm của phương trình này. “Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không” – nhà toán học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – “Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi”.
TRƯƠNG THU HÀ dịch từ Science & Vie (Tạp chí Tia Sáng số 10.2000)
ngocson52 Diễn đàn Toán học
——————————–
(1) Chi tiết về 23 bài toán của Hilbert có thể xem tại đây:
http://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html. Trong đó, 3 bài toán vẫn còn chưa có lời giải là bài toán số 8 (chính là giả thuyết Riemann va giả thuyết Goldbach) và số 16.
Ghi chú: Bài báo nguyên gốc trên tạp chí Tia Sáng không có các hình ảnh minh họa và 2 đoạn cuối đổi chỗ cho nhau.
Augustin Cauchy (1789-1857)
Thursday, 05 August 2004
Ông xuất thân từ gia đình khá giả ở vùng Normandie (Pháp). Ông vốn rất giỏi về văn chương nhưng năm 16 tuổi ông thi đỗ vào ĐH bách khoa PARIS.Ông đỗ đầu lúc ra trường nhưng vì say mê toán và có tài đặc biệt nên ông được bổ nhiệm làm Giáo sư môn toán cơ trường đại học bách khoa Paris.
Ông là nhà toán học Pháp có nhiều đóng góp cho toán học thế giới , ở ngành nào ông cũng có công lớn , đặc biệt là về giải tích toán học .Công trình của ông nhiều đến nỗi muốn xuất bản thành sách toàn bộ cũng cần dùng đến 27 tập lớn!!.Ông còn đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu.Ông còn được giải thưởng về truyền sóng trên mặt chất lỏng .Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh .Ông là người đã chứng minh 1 cách cụ thể sức mạnh không có giới hạn của Toán học để nghiên cứu thiên nhiên , ví dụ Sự truyền ánh sáng, sự khúc xạ , sự phản xạ.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Thursday, 05 August 2004
Ông là người Đức , con 1 người thợ nghèo, nhưng từ năm lên 3 tuổi đã bộc lộ thiên tài toán học đặc biệt nên được Quận công vùng BRUNSWICK nuôi ăn học .Càng lớn lên ông càng thể hiện năng khiếu toán học dị thường .Ông đỗ tiến sĩ năm 22 tuổi do đưa ra một chứng minh lỗi lạc về Lí thuyết phương trình .Ông không thích làm Giáo sư Đại học àm nhận chức Giám đốc Đài thiên văn của GOTTINGGEN năm 1807.
Ông có cách giải độc đáo phương trình x^2^n + 1 = 1 khi 2^n +1 là số nguyên tố.
Từ đó ông đưa ra ý kiến khẳng định dựng một đa giác đều 2^n+1 cạnh nội tiếp trong hình tròn nếu 2^n+1 là số nguyên tố;, với n=4 thì đa giác đều 17 cạnh và ngày nay mọi người hết lời ca ngợi!! Về giải tich toán hcọ ông đóng góp nhiều vào phép tính biến thiên .Ông nhận được nhiều giải thưởng của viện hàn lâm.Ông là nhà táon học rất say mê tính toán cụ thể .GAUSS đã công bố nhiều công trình về tính toán như “Luật sác xuất của sai số””Sai số ngẫu nhiên”;”Sai số trung bình tuyệt đối”…. là những công trình mà ngày nay ta dùng trong đo lường chính xác .Ngoài ra ông còn đóng góp nhiều công trình nghiên cưú về hiện tượng mao dẫn , qui luật đường đi cảu ánh sáng qua một hệ thấu kính dày.
Toàn bộ tác phẩm của ông được xuất bản thành7 tập kéo dài từ năm 1863 đến năm 1871; về sau có bổ sung thêm những công trình mà sinh thời ông chưa kịp công bố.
Giả thuyết Euler về tổng các luy thừa
Saturday, 30 October 2004
Có rất nhiều người bị cuốn hút bởi toán lũy thừa và số nguyên, và có một số lượng không nhỏ các bài toán được giải quyết, phải chăng bằng suy luận lôgíc hay bằng những khối lượng tính toán đồ sộ trên máy tính?
Năm 1769, trong khi nghĩ về cách giải bài toán, nay mang tên bài toán Ferma lớn, Leonhard Euler (1707 -1783) đã đưa ra một giả thuyết tương tự. “Phải chăng không có một cặp nghiệm a,b,c,d nguyên dương nào thỏa mãn phương trình ?”
Thực tế, Euler đã đi xa hơn. Ông đã cho rằng với mọi số nguyên lớn hơn 2, tổng của (n-1) số lũy thừa n không thể là một số lũy thừa n.
Năm 1966, L.J.Landervaf T.R Parkin đã phản chứng lại giả thuyết tổng quát của Euler bằng việc đưa ra phản ví dụ, với n =5. Phương trình đúng khi
a = 27, b = 84, c = 110, d = 133 và e = 144.
Năm 1986, Noam D. Elkies thuộc đại học Harvard đã đưa ra một phản ví dụ, chứng minh giả thuyết của Euler là sai với trường hợp n = 4. Phương trình đúng với a = 2.682.440, b = 15.365.639, c = 18.796.760 và d= 20.615.673.
Bằng việc lập thuật toán cho máy tính, Elkies đã tìm ra được nghiệm, thỏa mãn cho phương trình-giả thuyết của Euler. Một vài nhà toán học khác đã nhanh chóng đưa ra các thuật toán tương tự để tìm ra phản ví dụ như Elkies đã làm, nhưng không một ai đưa ra được cách chứng minh giả thuyết Euler một cách tổng quát.
Một khi Elkies tìm ra được phản ví dụ đầu tiên, thì ông cũng có khả năng đưa ra được các phản ví dụ khác, với những số lớn hơn. Nhưng cái Elkies đã không biết thời đó chính là phải chăng kết quả nghiệm đúng của ông đã là nhỏ nhất?
Roger Frye, làm việc ở trường đại học Cambridge, sau khi nghe kết quả mà Elkies đạt đươc, ông đã bắt đầu viết chương trình máy tính để tìm kiếm kết quả nhỏ nhất, phản ví dụ cho giả thuyết của Euler.
Làm việc thâu đêm, Frey sử dụng hệ thống máy tính Connection Machine, ông đã tìm ra được kết quả nhỏ nhất, nghiệm đúng phương trình. Máy tính của ông chỉ ra kết quả a = 95.800, b = 217.519, c = 414.560 và d = 422.481.
Tuy nhiên, giả thuyết tổng quát của Euler vẫn còn để lại nhiều câu hỏi chưa được giải quyết. Ví dụ như, không ai tìm ra được phương trình nghiệm đúng trong trường hợp
n > 5. Phải chăng lũy thừa 6 của một số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy thừa 6 của 5 số khác?
—————————-
Hiện tại, có một kết quả khác, ứng với trường hợp n = 5 mới được tìm ra:

Còn bạn…sao không thử tìm một phản ví dụ cho giả thuyết của Euler, hay chứng minh giả thuyết tổng quát nhỉ?
Một số chi tiết thêm về bài toán tổng các lũy thừa của Euler các bạn có thể xem tại thư viện của Wolfram Research http://mathworld.wolfram.com/EulersSumofPowersConjecture.html
Hoặc bạn cũng có thể cùng mọi người trao đổi thêm về giả thuyết này trong diễn đàn tại đây http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=2756 nếu bạn là thành viên của diễn đàn.

Vì sao 1 không phải là số nguyên tố?
Thursday, 05 August 2004
Toàn bộ số tự nhiên được chia làm ba loại: Loại 1 là các số nguyên tố (như 2,3,5,7,11,13,…), Loại 2 là các hợp số ( 4,6,8,9,10,…).
Số “1” không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số nên nó là một loại riêng thứ 3. Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, còn hợp số có thể chia hết cho những số khác. Ví dụ, hợp số 6, ngoài chia hết cho 1 và 6 ra, nó còn chia hết cho 2 và 3. Đây là lý do chính để chia ra thành loại hợp số và số nguyên tố. Nhưng số 1 cũng chia hết cho 1 và chính nó, vì sao không gọi là số nguyên tố? Nếu 1 là số nguyên tố thì chỉ cần chia số tự nhiên thành 2 loại có tốt hơn không?Để trả lời vấn đề này, trước tiên ta phải đặt vấn đề vì sao phải bàn đến số nguyên tố. Ví dụ số 3003 có thể chia hết cho số nguyên tố nào? Cũng có nghĩa là số nào là thừa số của 3003? Đương nhiên ta có thể xét tất cả các số từ 1 đến 3003, nhưng như vậy thì rất tốn công.
Chúng ta biết rằng, hợp số có thể là tích của nhiều số nguyên tố, tức là nhân nhiều số nguyên tố với nhau, nói cách khác, chính là phân tích thành thừa số nguyên tố.Đương nhiên, mỗi hợp số đều có thể phân tích thành thừa số nguyên tố và chỉ có một kết quả mà thôi ( tất nhiên không kể đến thứ tự các thừa số).
Ví dụ: số 3003 có thể phân tích thành 3.7.11.13
Bây giờ ta quay trở lại vấn đề vì sao 1 không phải là số nguyên tố. Nếu 1 được coi là số nguyên tố thì khi phân tích một hợp số thành thừa số nguyên tố, đáp án sẽ không phải là duy nhất nữa!
Ví dụ: Phân tích số 3003 thành thừa số nguyên tố sẽ xảy ra các trường hợp sau:
3003 = 3.7.11.13
3003 = 1.3.7.11.13
3003 = 1.1.3.7.11.13
…………
Như vậy, khi phân tích có thể tuỳ ý thêm các thừa số 1 vào như vậy quả thực là không cần thiết chút nào, và kết quả phân tích lại không duy nhất, chỉ tăng thêm những phiền phức không cần thiết.
Vì vậy 1 không được coi là số nguyên tố.

Niels Hendrik Abel
Thursday, 05 August 2004
Trong lịch sử toán học thế giới ít có nhà toán học nào có cuộc đời tài ba và gian truân như ABEL.Ông là người Nauy, cah là mục sưtin lành mất sớm , để lại nhiều con còn bé phải nuôi .Able mãi đến năm 16 tuổi mới bắt đầu học qua đại hoc nhưng đã tỏ ra đặc biệt có năng khiếu toán nên ông học qua ĐH rất dễ dàng nhờ học bổng của nhà nước và do thầy học của ông xin hộ.
Năm 1820 ông bắt đầu chứng minh phương trình bậc 5 không thể giải được bằng căn thức, nhờ đó năm 1825 ông được học bổng qua BERLIN nhân đó làm quen với Crelle và gợi ý Crelle thành lập tạp chí Toán học để làm nơi giao lưu với các nhà toán họctrên thế giới thời bấy giờ và Abel là một cộng tác viên tích cực xuất sắc. Giáo trình “giải tích toán học” của Cauchy đã làm ông say mê. Ông qua Paris là nơi mà ông cho là trung tâm của toán học thế giới hồi đó và công bố công trình “Về tính chất tổng quát của 1 số lớn, số siêu việt” nhưng ít được chú ý tới. Thất vọng, ông quay về quê hương, sống trong nghèo khổ.
Tuy vậy ông vẫn phát minh ra nhiều công trình về giải tích.Các nhà toán học thế giới thời bấy giờ như là Legende (Pháp) hay Jacobi (Đức) đã thấy ở ông một thiên tài toán học nên thỉnh cầu vua Thuỵ Điển giúp.Kết quả không đươc như mong muốn. Abel sống trong nghèo khổ và bệnh tật, mắc bệnh đau ngực. Jacobi, trẻ hơn Abel hai tuổi rất khâm phục ông nên tìm mọi cách xin cho ông một chỗ làm xứng đáng. Nhưng sức khoẻ ông tàn tạ dần , cuối cùng ông mất năm 27 tuổi. Sau khi ông mất, Viện hàn lâm khoa học Pháp mới tặng ông giải thưởng lớn và người đi nhận là mẹ ông và bạn thân Jacobi. Bốn năm sau, vua Thuỵ điển cho xuất bản bộ công trình của Abel.
Tuy ông còn rất trẻ chưa đầy 27 tuổi nhưng các nhà toán học đời sau xếp ông vào loại bậc thầy như là CAUCHY và GAUSS, là những nguời đã làm cho toán học trở thành một thứ triết học trong sáng với logique chặt chẽ, suy diễn chính xác không thể chê vào đâu được” (trích diễn văn của nhà toán học pháp Emile Picard, đọc nhân dịp kỉ niệm 100 năm ngày mất Abel).

Nicolai Ivanovic Lobachevskii
Thursday, 05 August 2004
Ông là người Nga, con một công chức nhỏ, ông mồ côi cha sơm, lúc nhỏ, ông học rất giỏi nên được vào tại Đại học KANZAN lúc mới 14 tuổi.Năm 23 tuổi ông được phong làm giáo sư của Đại học KAZAN và năm 27 tuổi ông được mời làm viện sĩ viện hàn lâm khoa học KAZAN. Ông thường làm việc hết mình không nề hà bất cứ một công việc gì từ Viện trưởng Đại học cho đến nhân viên thư viện hay phòng thí nghiệm. Ông được GAUSS mời làm viện sĩ nước ngoài Viện Hàn lâm khoa học Gottingen.Mặc dù ông được giới bác học nước ngoài tôn trọng nhưng lại bịi chính quyền địa phương ghét bỏ, vì vậy ông sớm bị cách chức, sức khoẻ bị giảm sút do làm việc quá sức. Cuối cùng ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển PANGE’OMETRRIE’ nổi tiếng trong lịc sử hình học thế giới. Từ năm 1815ông đeo đuổi phát minh ra hình học mới xây dựng dựa trên cơ sở phủ định tiên đề 5 của EUCLIDE. Các nhà toán học đương đời chưa hiểu ông nhưng ông vẫn đeo đuổi tới cùng!Cho đến năm 1840, GAUSS mới công nhận sự thành công của phát minh do ông và từ đó GAUSS cũng như các nhà toán học trên thế giới gọi hình học của ông là hình học ảo , nhưng ngày nay Hình học Lobatchevski rất thực vì trong những chuyến du hành vũ trụ dài ngày ngày nay cũng như tương lai, việc tính toán phải dựa trên cơ sở không gain Lobatchevski. Có thể nói nôm na hình học của ông dùng trong không gian rộng lớn còn hình học của EUCLIED là dùng trong không gian nhỏ hẹp.Tuy vậy hình học của hai người không đối đầu nhau mà là bổ sung cho nhau. Toàn bộ suy nghĩ sáng tạo của ông được đúc kết ở những tác phẩm sau:
– Cơ sở hình học(1830)
– HÌnh học ảo(1837)
– Cơ sở mới của hình học(1838)
– Khảo cứu mới về lí thuyết đường song song(1840)
– Panego’me’trie.
Khi mua vé xổ số, nên mua các vé liên tục hay không liên tục?
Thursday, 05 August 2004
Trong cuộc sống thường ngày, chúng ta thường gặp rất nhiều loại xổ số hoặc vé số, ví dụ như vé xem thể thao có thưởng, vé xổ số phúc lợi xã hội có thưởng, … Vậy khi mua chúng thì nên mua các vé số mang tính liên tục hay không liên tục sẽ tốt hơn? Suy cho cùng, cơ hội trúng thưởng của loại nào lớn hơn?
Chúng ta hãy xem xét một ví dụ đơn giản:
Giả sử có một lại vé số nào đó mà vé trúng thưởng là vé có số 0 ở hàng cuối cùng. Như vậy cơ hội trúng thưởng (xác suất) là 10%. Ta chỉ mua 2 vé, nếu mua những vé có số cuối liên tục thì sẽ có 10 khả năng, lần lượt là (0,1), (1,2), (2,3); …, (9, 0), thì xác suất trúng sẽ như nhau, trong đó chỉ có hai trường hợp (0,1) và (9,0) có một vé trúng thưởng. Do vậy xác suất trúng thưởng chung là 20%, số lần trúng thưởng bình quân là 1×20% = 0,2 lần. Nếu ta mua tuỳ ý thì hai số cuối cùng sẽ có dưới 100 khả năng và xát suất trong mỗi tình huống cũng đều là 1%
(0,0), (0, 1), …., (0, 9)
(1,0), (1,1); …., (1,9)
……..
(9,0), (9,1), …., (9,9)
Trong 100 trường hợp thì chỉ trong trường hợp hai vé có số cuối là (0,0) mới đều trúng thưởng, do đó xác xuất là 1%, mà các vé (0,1), …, (0,9), (1,0), …, (9, 0) tổng cộng chỉ có 18 trường hợp chỉ có một vé trúng thưởng, xác xuất là 18%, các trường hợp còn lại đều không trúng thưởng. Do đó xác suất trúng thưởng là 18%+1%=19%, ít hơn 1% so với khi mua vé có số cuối liên tiếp nhau (20%), nhưng số lần trúng thưởng bình quân là 2×1%+1×18% = 0,2 lần , bằng số lần trúng thưởng khi mua các vé số theo thứ tự liên tiếp. Nếu ta mua 3 vé một lúc thì cách tính cũng như vậy. Do đó, ta có thể kết luận, trong 2 trường hợp trên, số lần trúng thưởng là bằng nhau.
Bây giờ lại xét đến trường hợp giải thưởng được phân làm 2 hạng. Giả thiết vé có số cuối cùng là 0 sẽ trúng giải nhì, còn vé có hai số cuối là 00 sẽ trúng giải nhất và nếu trúng giải khác cũng sẽ được nhận. Giả sử ta vẫn mua 2 vé, theo cách tính trên thì dù mua theo cách nào thì số lần bình quân trúng giải nhì vẫn như nhau. Theo cách tính trên, nếu mua các vé theo dạng số liên tiếp thì xác suất trúng giải nhất là 2%, số lần trúng thưởng bình quân là 0,02 lần. Nếu mua theo cách tuỳ ý thì xác xuất cả 2 vé đều trúng thưởng là 1% x 1% = 0,01%, xã suất chỉ trúng 1 vé là 1% x 99% + 99% x 1% = 1,98%; do đó xác suất trúng giải nhất là 2×0,01% + 1+1,98% = 0,02 lần. Như vậy số lần trúng thưởng bình quân của cả hai cách mua đều như nhau.
Kết luận: Dù giải thưởng phân ra làm mấy hạng chăng nữa và dù cho xác suất trúng thưởng mỗi hạng là bao nhiêu, dù mua bao nhiêu vé và mua theo cách gì (chọn số liên tiếp hay không liên tiếp) thì tổng số lần trúng thưởng bình quân vẫn như nhau.
Giả̉i quyết bài toán như thế nào? (G.Polya)
Wednesday, 17 November 2004
G.Polya là một nhà Toán học, nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ, nếu bạn là một người quan tâm nhiều đến Toán học cũng như các vấn đề liên quan chắc hẳn bạn đã từng đọc qua hoặc nghe nói đến bộ sách 3 quyển của ông được dịch ra tiếng Việt – Ba trong số những tác phẩm tâm huyết nhất của ông bàn về quá trình giải Toán, sáng tạo, tìm tòi các vấn đề Toán “Giải bài toán như thế nào?”, “Sáng tạo Toán học” và “Toán học và những suy luận có lý”.
Đây là bài viết tóm lược những ý chính trong quyển sách “Giải bài toán như thế nào?” – cũng cần nói thêm ở đây rằng từ “Giải bài toán” theo G.Polya không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí cả sinh viên vẫn thường hay hiểu, “Giải bài toán” ở đây bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như lý giải nguyên nhân phát sinh bài toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít ra nêu ra những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc từ đâu bài toán phát sinh.
I.Tìm hiểu bài toán:
– Đâu là ẩn?đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa,hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?
– Vẽ hình.
– Sử dụng các kí hiệu thích hợp,có thể biểu diễn các điều kiện,dữ kiện thành công thức được không? Phân biệt rõ các phần của điều kiện.
II.Tìm tòi lời giải bài toán:
– Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa?Hay ở một dạng hơi khác?
– Bạn có biết một định lý,một bài toán liên quan đến bài toán này không?
– Hãy xét kỹ cái chưa biết,và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết không?
– Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi,bạn có thể áp dụng được gì ở nó?Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được?
– Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các định nghĩa.
– Nếu bạn chưa giải được bài toán này,hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng,tương tự,tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào?Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?
– Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
III.Giải bài toán:
Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra.Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? Bạn có thể chứng minh nó đúng?
IV.Khai thác bài toán:
– Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc hơn.
– Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?
– Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?
Archimedes
Leonardo Pisano Fibonacci

Euclid
Johann Carl Friedrich Gauss

Isaac Newton
Blaise Pascal

Pythagoras

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: